全体整数集是开集还是闭集

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全体整数集是开集还是闭集

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答案和解析

在点集拓扑中, 说一个集合是开集还是闭集之前要明确两件事情.
其一是全空间是什么, 其二是全空间赋予了怎样的拓扑.
实数集上有一个标准的拓扑, 整数集作为实数集的子集是一个闭集而不是开集.
但整数集作为自身的子集是既开又闭的.
如果实数集赋予离散拓扑, 整数集作为实数集的子集也是既开又闭的.
如果实数集赋予余有限拓扑, 整数集作为实数集的子集既不是开集也不是闭集.
如果是在数学分析中遇到这个问题, 基本上是作为标准拓扑的实数集的子集来考虑.
所以答案是闭集且不是开集.
以数学分析中的判别就是: 聚点集(空集)是其子集, 所以是闭集.
存在边界点(所有点都是), 所以不是开集.

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