证明三个向量共面的充要条件其中一个向量可以表示为另两个向量的线形组合.

Question

证明三个向量共面的充要条件其中一个向量可以表示为另两个向量的线形组合.

Answer 1

此题等价于证明向量e1、e2、e3共面的充要条件是“存在三个不全为零的实数λ,μ,υ,使得λe1+μe2+υe3=0”(因为将λe1+μe2+υe3=0变形即为一个向量可以表示为另两个向量的线形组合)证明如下

1.若向量e1、e2、e3共面,
(i)其中至少有两个不共线,不妨设e1,e2不共线,则e1,e2线性无关,e3可用e1,e2线性表示,即存在实数λ,μ,使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.
即存在三个不全为零的实数λ,μ,υ=-1,使得
λe1+μe2+υe3=0”.
(ii)若e1,e2,e3都共线,则其中至少有一个不为0,不妨设e1≠0,则存在实数λ,使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ,μ=-1,υ=0,使得λe1+μe2+υe3=0”.
2.存在三个不全为零的实数λ,μ,υ,使得λe1+μe2+υe3=0”,不妨设λ≠0,
就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,
于是e1,e2,e3共面.