线性代数问题：为什么单射的充要条件是f-1（02）=01,其中f-1（02）表示f的核（Kerf),01,02为集合V1,V2

Question

线性代数问题：为什么单射的充要条件是f-1（02）=01,其中f-1（02）表示f的核（Kerf),01,02为集合V1,V2

Answer 1

若f是V1到V2的单射,
由单射的定义可知,对于V1中不同的元素象必须不同知,
在V1中除了01外其他元素都不等于0,
所以f-1（02）={01}.
反过来,要证 f是V1到V2的单射,即证对于V1中不同的元素象必须不同.
(反证法)对于任意的a,b属于V1,且a不等于b,有f(a)=f(b)
则f(a-b)=f(a)-f(b)=0
从而a-b属于ker(f)
而由已知ker(f)=01,
所以a-b=01,
从而a=b与条件a不等于b矛盾.
所以f是V1到V2的单射.