证明一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是二次项系数与常数项成积小于零

Question

证明一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是二次项系数与常数项成积小于零

Answer 1

证明：
一元二次方程：ax²+bx+c=0. (a≠0)

【充分性】
设该方程两个根为p, q. ( q＜0＜p)
显然,pq＜0,
结合韦达定理可知：
pq=c/a＜0
∴ac＜0.
此时判别式Δ=b²-4ac＞0
满足题设要求.
充分性成立.

【2】
必要性.
可设ac＜0.即a, c异号.
则判别式Δ=b²-4ac＞0.
∴该方程有两个不相等的实数根p, q
由韦达定理可知
pq=c/a＜0
∴该方程两个根p, q异号.
即一个为正一个为负.
必要性成立.