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如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,
题目详情
如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,说明理由.

(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,说明理由.

▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,∵∠1与∠2互补,
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∴AB∥CD;
(2)如图2,由(1)知,AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP=
(∠BEF+∠EFD)=90°,
∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴PF∥GH;
(3)∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:
如图3,∵∠1=∠2,
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG,
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK,
∴∠QPK=
∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°,
∴∠HPQ的大小不发生变化,一直是45°.

∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∴AB∥CD;
(2)如图2,由(1)知,AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP=
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∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴PF∥GH;
(3)∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:
如图3,∵∠1=∠2,
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG,
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK,
∴∠QPK=
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∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°,
∴∠HPQ的大小不发生变化,一直是45°.
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