如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，连ME；下列结论：①∠BEC=60°；②MA+MD=3ME；③若BD=6，则EC=3−1．其中正确的结论（）A．只有①②B．

Question

如图，四边形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB为边作等边△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，连ME；下列结论：
①∠BEC=60°；②MA+MD=√(3)ME；③若BD=√(6)，则EC=√(3)−1．
其中正确的结论（　　）

A．只有①②
B．只有②③
C．只有①③
D．①②③

Answer 1

①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵AB=BD，∠ABD=90°，
∴BC=BD，∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°，
∴∠BDC=∠BCD=(180°−∠DBC)/(2)=15°，
又∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE=(1)/(2)∠ABD=45°，
∴∠BEC=∠BDE+∠DBE=15°+45°=60°，
故结论正确；

②连接AE，延长MA至F，使FA=DM，连接EF．
在△BDE与△BAE中，

BD＝BA

∠DBE＝∠ABE

BE＝BE

，
∴△BDE≌△BAE，
∴DE=AE，∠BED=∠BEA=180°-∠BEC=120°，
∴∠AED=360°-∠BED-∠BEA=120°．
∴∠AED+∠AMD=120°+60°=180°，
∴∠EAM+∠EDM=180°，
又∠EAM+∠EAF=180°，
∴∠EDM=∠EAF．
在△EDM与△EAF中，

DM＝AF

∠EDM＝∠EAF

DE＝AE

，
∴△EDM≌△EAF（SAS），
∴EM=EF，∠DEM=∠AEF，
∴∠DEM+∠AEM=∠AEF+∠AEM，即∠DEA=∠MEF=120°．
在△MEF中，∵∠MEF=120°，EM=EF，
∴∠F=∠EMF=30°．
过点E作EG⊥MF于点G，则MG=FG=(1)/(2)MF．
在△GEM中，∵∠EGM=90°，
∴cos∠EMG=(MG)/(ME)=((1)/(2)MF)/(ME)=(√(3))/(2)，
∴MF=√(3)ME，
∵MF=MA+AF，AF=MD，
∴MA+MD=√(3)ME，
故结论正确；

③连接AD，延长BE，交AD于点H．
∵AB=BD=√(6)，BE平分∠ABD，AB⊥BD，
∴DH=AH=BH=(1)/(2)AD=(1)/(2)×√(2)BD=√(3)，∠BDH=45°，BH⊥AD，
由①知∠BDC=15°，
∴∠EDH=∠BDH-∠BDE=30°．
在Rt△DEH中，∵∠EHD=90°，∠EDH=30°，DH=√(3)，
∴DE=(DH)/(cos30°)=2，
∵CD=√(BD2+BC2−2BD•BC•cos150°)=√(6+6−2×√(6)×√(6)×(−(√(3))/(2)))=3+√(3)，
∴CE=CD-DE=3+√(3)-2=√(3)+1，
故结论错误．
故选A．