A(3,0)椭圆x2/6+y2/2=1,过A的直线与椭圆交于P,Q两点,若以P,Q为直径的圆过(0,0）,求直线PQ的方程

Question

A(3,0)椭圆x2/6+y2/2=1,过A的直线与椭圆交于P,Q两点,若以P,Q为直径的圆过(0,0）,求直线PQ的方程

Answer 1

设 PQ 方程为 y=k(x-3) ,代入椭圆方程得 x^2/6+k^2(x-3)^2/2=1 ,
化简得 (3k^2+1)x^2-18k^2*x+27k^2-6=0 ,
设 P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
则 x1+x2=18k^2/(3k^2+1) ,x1*x2=(27k^2-6)/(3k^2+1) ,
所以 y1*y2=k(x1-3)*k(x2-3)=k^2[x1x2-3(x1+x2)+9]=3k^2/(3k^2+1) ,
因为以 PQ 为直径的圆过原点O（0,0）,所以 OP丄OQ ,
则 x1x2+y1y2=0 ,
即 (27k^2-6)/(3k^2+1)+3k^2/(3k^2+1)=0 ,
解得 k=±√5/5 ,
所以,PQ 的方程为 y= ±√5/5*(x-3) .