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将正方形ABCD分割为n2个相等的小方格,把相对的顶点A、C染成红色,把B、D染成蓝色,其他各点任意染成红蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.
题目详情
将正方形ABCD分割为n2个相等的小方格,把相对的顶点A、C染成红色,把B、D染成蓝色,其他各点任意染成红蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.
▼优质解答
答案和解析
证明:用数代表颜色,将红色记为0,蓝色记为1,再将小方格编号记为1,2,3,n2,又记第i(i=1,2,3,n2)个小方格四个顶点数字之和为A.
若恰有三个顶点同色(三红一蓝或一红三蓝),则Ai=1或3为奇数,否则(4红,二红二蓝,4蓝)Ai为偶数.
在A1+A2+A3+…+An2中,有如下事实:
(1)原正方形内部的交点属于4个小正方形,各加了4次;
(2)原正方形边上非顶点的交点属于2个小正方形,各加了2次;
(3)原正方形的四个顶点各加了1次(含2个0,2个1).
∴A1+A2+A3+…+An2
=4(内部交点相应的数字之和)+2(边上非顶点的交点相应的数字之和)+2,此和必为偶数.
于是,在A1,A2,A3,An2中必定是偶数个奇数,
所以:恰有三个顶点同色的小方格的数目必有是偶数.
若恰有三个顶点同色(三红一蓝或一红三蓝),则Ai=1或3为奇数,否则(4红,二红二蓝,4蓝)Ai为偶数.
在A1+A2+A3+…+An2中,有如下事实:
(1)原正方形内部的交点属于4个小正方形,各加了4次;
(2)原正方形边上非顶点的交点属于2个小正方形,各加了2次;
(3)原正方形的四个顶点各加了1次(含2个0,2个1).
∴A1+A2+A3+…+An2
=4(内部交点相应的数字之和)+2(边上非顶点的交点相应的数字之和)+2,此和必为偶数.
于是,在A1,A2,A3,An2中必定是偶数个奇数,
所以:恰有三个顶点同色的小方格的数目必有是偶数.
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