皮克公式的由来要画图解说,把推理过程写明白

Question

皮克公式的由来
要画图解说,把推理过程写明白

Answer 1

　　b=14,i=39,A=45 具体做法:
　　一张方格纸上,上面画着纵横两组平行线,相邻平行线之间的距离都相等,这样两组平行线的交点,就是所谓格点.
　　如果取一个格点做原点O,如图1,取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY,并取原来方格边长做单位长,建立一个坐标系.这时前面所说的格点,显然就是纵横两坐标都是整数的那些点.如图1中的O、P、Q、M、N都是格点.由于这个缘故,我们又叫格点为整点.
　　一个多边形的顶点如果全是格点,这多边形就叫做格点多边形.有趣的是,这种格点多边形的面积计算起来很方便,只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目,就可用公式算出.
　　这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的,被称为“皮克定理”,这是一个实用而有趣的定理.
　　给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形,皮克定理说明了其面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系：
　　S=a+ b/2 - 1.
　　(其中a表示多边形内部的点数,b表示多边形边界上的点数,S表示多边形的面积)
　　皮克公式的证明：
　　可以将边界上的点看作是一个个圆,在多边形边上的圆其面积只有一半属于这个多边形,但多边形角上的圆就不一样了,将夹角的任一个边延长,与另一条边的夹角是外角,这角上的圆中外角部分计算面积时多算了,要除去,因多边形的外角和是360度,所以正好是个整圆.
　　所以面积公式为a+1/2b-1