求微分方程的通解!最好详细点哈.y''-5y'+4y=x^2-2x+1

Question

求微分方程的通解!最好详细点哈.
y''-5y'+4y=x^2-2x+1

Answer 1

该方程的特征方程为λ²-5λ+4=0
所以其特征根为λ1=4,λ2=1
所以该方程的一个基本解组为e^(4x),e^x
设方程有如下形式的特解
y*=Ax²+Bx+C
代入原方程得 4A=1
4B-10A=-2
4C-5B+2A=1
解之得 A=1/4,B=1/8 C=9/32
所以该方程的通解为y=C1e^(4x)+C2e^x+(x²/4)+(x/8)+(9/32)