研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体

Question

研究课题：蚂蚁怎样爬最近？
研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C ₁ 处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC ₁ =

A C 2 +C C 1 2

=

10 2 + 5 2

=5

5

cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．
研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C ₁ 处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为______．
（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA ₁ =120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．

Answer 1

（1）画图分两种情况：
① A C 1 =

(5+5) 2 + 6 2

=

136

，
② A C 1 =

(6+5) 2 + 5 2

=

146

，
∵

146

＞

136

，
∴最短路程为 2

34

cm，
故答案为 2

34

cm，
（2）如图1，连接AA ₁ ，过点O作OP⊥AA ₁ ，则AP=A ₁ P，∠AOP=∠A ₁ OP，



由题意，OA=4cm，∠AOA ₁ =120°，
∴∠AOP=60°．
∴AP=OA?sin∠AOP=4?sin60°=2

3

．
∴蚂蚁需要爬行的最短路程的长为AA ₁ = 4

3

，
（3）画图2，点B与点B’关于PQ对称，可得AC=16，B’C=12，
∴最短路程为AB’=

16 2 + 12 2

=20cm．