求证:有界数列的所有收敛子列的极限中一定有最大,最小值好的话有加分额、、、

Question

求证:有界数列的所有收敛子列的极限中一定有最大,最小值 好的话有加分额、、、

Answer 1

设有界数列﹛an﹜的上确界M 下确界m
则﹛an﹜的任何收敛子列的极限p一定m≤p≤M 因为若p＞M则﹛an﹜中存在无限多项an’∈
O﹙p,﹙p－M﹚﹚－﹛p﹜ an’＞M 矛盾 ∴p≤M 同理m≤p
设﹛an﹜所有收敛子列的极限p组成的集合为A ∴A有界 记supA＝β infA＝α
则任意pn≤β 任意取ε＞0 A中存在p1 满足β－ε＜p1＜β 而p1是﹛an1﹜的极限 ∴﹛an﹜中有无限多项落在β的ε邻域内 取一项an1k1 对ε/2 A中存在p2 满足 β－ε/2＜p2＜β ﹛an﹜中有无限多项落在β的ε/2邻域内 取一项an2k2 且使n2k2 ＞n1k1 这样下去可以选到﹛an﹜的一个子列﹛antkt﹜ 它的极限为β
∴β∈A ∴β是﹛an﹜所有收敛子列的极限中的最大值
同理可证α是﹛an﹜所有收敛子列的极限中的最小值