立方公式题8x的3次方-6x+1=0怎么解

Question

立方公式题
8x的3次方-6x+1=0怎么解

Answer 1

X=三次根号下（-1/16+√3/16）+三次根号下（-1/16-√3/16）,
8x^3-6x+1=0.
先将三次项系数变为1：
得x^3-(3/4)x+1/8=0
令x=u+v,代入原方程即得
u^3+v^3+1/8+(3uv-3/4)(u+v)=0
令3uv-3/4=0,即uv=1/4,从而得一方程组：
u^3+v^3=-1/8.(1)
(u^3)(v^3)=1/64.(2)
由此可见,u^3和v^3是二次方程
t^2+(1/8)t+1/64=0,即
64t^2+8t+1=0的两个根.
解此二次方程,即得
t1=u^3=[-1-(√3)i]/16; t2=v^3=[-1+(√3)i]/16.
把u^3和v^3表为复数形式.｜u^3｜=｜v^3｜=√[(1/16)^+(√3/16)^2]=1/8
u^3的复角Φ1＝4п/3,v^3的幅角Φ2＝2п/3.
∴u^3=(1/8)[cos(4п/3)+isin(4п/3)].
v^3=(1/8)[cos(2п/3)+isin(2п/3)].
∴uk=(1/2)[cos(2kп+4п/3)/3+isin(2kп+4п/3)/3](k=0,1,2)
vk=(1/2)[cos(2kп+2п/3)/3+isin(2kп+2п/3)/3](k=0,1,2)
由于u和v的立方根各有三种取法,因而可得u+v的九种组合,但九组值中只有三组满足uv=1/4.这三组才是原方程的根.
用K=O,1,2代入,依次得：
u0=(1/2)[cos(4п/9)+isin(4п/9]=(1/2)(cos80°+isin80°);
u1=(1/2)[cos(10п/9)+isin(10п/9)]=(1/2)(cos200°+isin200°);
u2=(1/2)[cos(16п/9)+isin(16п/9)]=(1/2)(cos320°+isin320°).
v0=(1/2)[cos(2п/9)+isin(2п/9)]=(1/2)(cos40°+isin40°);
v1=(1/2)[cos(8п/9)+isin(8п/9)]=(1/2)(cos160°+isin160°);
v2=(1/2)[cos(14п/9)+isin(14п/9)]=(1/2)(cos280°+isin280°).
选择组合的方法是：与X轴对称的两个就可构成一组.它们是：u2+v0;u0+v2;
u1+v1.∵这三组中的两个复数是共轭复数,它们虚部的和为零,而实部和虚部的平方和等于1,因次它们的乘积满足uv=1/4的要求.
于是原方程的解为：
x1=u2+v0=cos40°; x2=uo+v2=cos80°; x3=u1+v1=-cos20°.
检验：为简化计算,我们用三角函数值直接代入原方程.
cos40°=0.7660; cos80°=0.1736; -cos20°=-0.9397.
8(0.7660)^3-6(0.7660)+1=3.5956-4.596+1=0
8(0.1736)^3-6(0.1736)+1=0.0418-1.0416+1=0
8(-0.9397)^3-6(-0.9397)+1=-6.6383+5.6382+1=0
三角函数值都是无理数,有点小误差是允许的.