一个小虫子在一绳子上每秒爬1厘米这绳子每秒长1米他们朝一个方向运动]请问这条虫子用多长时间爬到头本人自认为数学学得挺好希望有能力的人帮我解一下我也能看个一二出来所以答

Question

一个小虫子在一绳子上每秒爬1厘米 这绳子每秒长1米他们朝一个方向运动] 请问这条虫子 用多长时间爬到头
本人自认为数学学得挺好 希望有能力的人帮我解一下 我也能看个一二出来 所以答不出来的不要乱答
这道题是一年清华数学硕士问答题 答案是能爬到头 但我想知道他们怎么算得
知道的人能否高速我国多长时间会追上

Answer 1

不妨假设绳子为一条直线段,两端点分别为O和P,O点不动,P点以1米／秒的速度向前移动,开始时OP长s米,虫子在距O点a米的A点,t秒后虫子爬到距O点x米的B点,此时B点由于绳子伸长而移动的速度为x／s米／秒,虫子以O点为参照点的移动速度为x／s＋1／100米／秒,所以
dx／dt＝x／s＋1／100,
dx／（x＋s／100）＝dt／s,
∫dx／（x＋s／100）＝∫dt／s＋c,
ln（x＋s／100）＝t／s＋c ………①.
将t＝0、x＝a代入①,得
c＝ln（a＋s／100）………②.
将②代入①,得
ln（x＋s／100）＝t／s＋ln（a＋s／100）,
x＝（a＋s／100）e＾（t／s）－s／100………③.
将x＝s＋1×t代入③,并整理,得
e＾（t／s）－100t／（100a＋s）－101s／（100a＋s）＝0
………④.
指数方程④若有正实数解t,则此t即为本题的答案.当s和a的具体数值给定时,可以用图解法求t：在同一直角坐标系中画出曲线y＝e＾（t／s）和直线y＝100t／（100a＋s）＋101s／（100a＋s）,其交点的t值即为答案.