已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）（Ⅰ）求f（x）表达式；（Ⅱ）若直线y=1与函数y=f（x）的图象恰有两个公共点，求实数a的取

Question

已知偶函数y=f（x）满足：当x≥2时，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）
（Ⅰ）求f（x）表达式；
（Ⅱ）若直线y=1与函数y=f（x）的图象恰有两个公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）试讨论当实数a、m满足什么条件时，直线y=m和函数y=f（x）的图象恰有k个公共点（k≥3），
且这k个公共点均匀分布在直线y=m上．（不要求过程）

Answer 1

（Ⅰ）．设x≤-2，则-x≥2，
∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵f（x）偶函数
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）=（x+a）（-x-2）=-（x+2）（x+a），
设x∈（-2，0），则-x∈[0，2），
∴f（-x）=x（2+x）=f（x），
故f(x)＝

(x−2)(a−x)，x≥2

x(2−x)，0≤x＜2

−x(2+x)，−2＜x＜0

−(x+2)(a+x)，x≤−2

（Ⅱ）①a＞2时x≥2，f（x）=（x-2）（a-x），
f(x)max＝f(1+(a)/(2))＝((a)/(2)−1)2，
∴((a)/(2)−1)2＜1，
∴0＜a＜4，
∴2＜a＜4
②a≤2时，都满足综上，
所以 a∈（-∞，4）；
（Ⅲ）.当a≤2时，m＝(3)/(4)或m＝0；
当2＜a＜2+√(3)时，m＝(3)/(4)；此时f((2+a)/(2))＜(3)/(4)
当a＝4时，m＝0，m＝(3)/(4)或m＝1；
当a＞(10+√(112))/(3)时，m＝(3a2−20a+12)/(16)．此时m＝f((2+a)/(4))＞1．