如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．（1）求证：AF=FG；（2）如图②，连接EG，当BG=3，DE=2时，求EG的长．

Question

如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．
（1）求证：AF=FG；
（2）如图②，连接EG，当BG=3，DE=2时，求EG的长．

Answer 1

（1）证明：如图①，连接CF，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，
在△ABF和△CBF中，

AB＝BC

∠ABF＝∠CBF＝45°

BF＝BF

，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，
∵FG⊥AE，
∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，
又∵∠BGF+∠CGF=180°，
∴∠BAF=∠CGF，
∴∠CGF=∠BCF，
∴CF=FG，
∴AF=FG；

（2）如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，则AH=AE，BH=DE，∠BAH=∠DAE，
∵AF=FG，FG⊥AE，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴∠EAG=45°，
∴∠HAG=∠BAG+∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAG=∠HAG，
在△AHG和△AEG中，

AH＝AE

∠EAG＝∠HAG

AG＝AG

，
∴△AHG≌△AEG（SAS），
∴HG=EG，
∵HG=BH+BG=DE+BG=2+3=5，
∴EG=5．