微分方程中dxdy怎么可以乘除不妨说dy比dy=xy吧为什么把dx可以乘过去再进行积分?学过数学分析的人来讲讲这么做的合理性.dy比dx是一个整体.即使有微分这个概念怎么就能保证可以把它拆开?还

Question

微分方程中dx dy怎么可以乘除
不妨说dy比dy=xy吧
为什么把dx可以乘过去再进行积分?
学过数学分析的人来讲讲这么做的合理性.
dy比dx是一个整体.即使有微分这个概念怎么就能保证可以把它拆开?还有.拆开以后不形式上想不定积分的被鸡表达式那样了.但是为什么就可以积分呢?不定积分和定积分的fxdx这个被积表达式不是只是一个形式上的东西吗?并不表示他们两个是相乘的啊?怎么证明?最好有证明!

Answer 1

（1）dx可以乘过去是因为微分的定义,以及微分的计算公式dy=f'(x)dx
（2）不定积分∫f(x)dx中的被积表达式f(x)dx,按其定义的确仅仅是形式的东西,但是由性质：
d[∫f(x)dx]=(∫f(x)dx)'dx=f(x)dx 发现,它恰好就是原函数的微分,所有可以看做微分.
（3）真正有问题的是定积分中的被积表达式,以下用∫(a,b)f(x)dx 表示从a到b对f(x)求定积分.
这里的f(x)dx真正是完全形式的了,与微分相去甚远,有很多书把定积分记作∫(a,b)f,根本就不写出积分变量来,因为由定积分的定义知,这个自变量是什么根本不重要,那么定积分该怎么计算呢?定积分中的换元积分法以及分部积分法又怎么来的呢?这个就是牛顿和莱布尼兹的贡献!
解决问题的关键：变上限积分 ∫(a,x)f(t)dt 这个东西按定义是个定积分,但是当x变动的时候,它是个函数,而最最重要的是它的微分 d[∫(a,x)f(t)dt]=f(x)dx,由此我们又一次看到定积分的被积表达式部分与微分联系了起来,这个结论是微积分部分最重要的一个结论,它的一个直接的结果就是牛顿-莱布尼兹公式 .
也许有同学会拘泥于 f(t)dt 与 f(x)dx中积分变量的差别,其实要注意到,由定积分的定义,积分变量用什么表示都是没有关系的,∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(y)dy=∫(a,b)f(t)dt=...
变上限积分 ∫(a,x)f(t)dt 有些书上就写成了 ∫(a,x)f(x)dx,但是这个导致很多学生不理解,所以把积分变量改成了跟积分的变上限x不同的东西.其实变上限积分,完全可以写成 ∫(a,x)f 的.、
打字真累,不如直接讲课轻松.