设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a2+b2（）A.最小值为15B.最小值为55C.最大值为15D.最大值为55

Question

设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a²+b²（　　）
A. 最小值为(1)/(5)
B. 最小值为(√(5))/(5)
C. 最大值为(1)/(5)
D. 最大值为(√(5))/(5)

Answer 1

∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，
∴（a-1）（2a+b-1）≤0，
即

a−1≤0

2a+b−1≥0

或

a−1≥0

2a+b−1≤0

；
画出它们表示的平面区域，如图所示．
a²+b²表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线2x+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
∵d=(|−1|)/(√(4+1))，
那么a²+b²的最小值为：d²=(1)/(5)．
故选A．