设函数f（x）在数集x上有定义,试证函数f（x）在x上有界的充分必要条件是它在x上既有上界又有下界

Question

设函数f（x）在数集x上有定义,试证函数f（x）在x上有界的充分必要条件是它在x上既有上界又有下界

Answer 1

这个很好证明,先证必要性,f(x)在X上有界,意味着存在M>0,使得对任意x属于X,有|f(x)|≤M,把绝对值打开,就是-M≤f(x)≤M,因此f(x)在X上有上界M和下界-M；再证充分性,f(x)在X上有上下界,意味着存在P和Q,使得对任意x属于X,有Q≤f(x)≤P,取M=max{|P|,|Q|},则有|f(x)|≤M,因此f(x)在X上有界.