10个人随机进入15个房间（每个房间容纳人数不限）,用随机变量X表示有人的房间数,则X的数学期望为?

Question

10个人随机进入15个房间（每个房间容纳人数不限）,用随机变量X表示有人的房间数,则X的数学期望为?

Answer 1

以 X i 表示第i个房间有人的状态,即 X i =0 表示无人,X i =1 表示有人.则 X =X 1+X 2+⋅ ⋅ ⋅+X 15 .
10个人随机进入15个房间,则每人进入第i个房间的概率是1/15,第i个房间无人等价于10个人均没有进入第i个房间,其概率为 (1-1/15)的10次幂,则 E (X i) =1-(1-1/15)的10次幂.
X的期望为15个上述数的和.