用比较审敛法证明下列级数收敛!√为根号1/√2+1/(2√3)+1/(3√$)+...+1/(n√n+1)+.

Question

用比较审敛法证明下列级数收敛!√为根号
1/√2+1/(2√3)+1/(3√$)+...+1/(n√n+1)+.

Answer 1

这个很简单.
首先 已知p-级数在p>1时是收敛的 (这个是前人已证,如不知请Google).
然后 对于 n√(n+1) > n√n = n^(3/2),所以有
1/(n√n+1) < 1/n^(3/2),而 \sum { 1/n^(3/2)}是p-级数,且p=3/2,所以\sum { 1/n^(3/2)}收敛.
\sum {1/(n√n+1)}是对于n是递增的,且有上届 ( \sum { 1/n^(3/2)} 就是上届) ,所以是有极限的,即是收敛的.