高中数学题已知对任意平面向量向量AB=（x,y）,把向量AB绕其起点沿逆时针方向旋转角a得到向量AP=(xcosa-ysina,xsina+ycosa）,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角a得到点P,已知平面上点A(1,2),点B(1+根

Question

高中数学题
已知对任意平面向量向量AB=（x,y）,把向量AB绕其起点沿逆时针方向旋转角a得到向量AP=(xcosa-ysina,xsina+ycosa）,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角a得到点P,
已知平面上点A(1,2),点B(1+根号2,2-2根号2）,把点B绕点A沿顺时针方向旋转45度后得到点P,则向量OP的坐标为--------------（求具体过程,谢谢!）
答案是（0，-1）

Answer 1

已知平面上点A(1,2),点B(1+根号2,2-2根号2）,把点B绕点A沿顺时针方向旋转45度后得到点P,则向量OP的坐标为
因为“点B绕点A沿顺时针方向旋转45度后得到点P”,故应用α=-π/4代入：
AB=(√2,-2√2),故AP=((√2)cos(-π/4)+2(√2)sin(-π/4),(√2)sin(-π/4)-2(√2)cos(-π/4))
=(1-2,-1-2)=(-1,-3)=OP.
【我们研究的是“自由向量”,即可随意平行搬动的向量,AP=（-1,-3)这种用坐标表示向量
的方法本身,就已经把AP平行地搬到了原点上,故AP=(-1,-3）=OP.】
【上述结论是否正确,用作图就可证明：按题意作出AP,然后平行移动AP,使其起点A与原点重合,这就得到了向量OP=(-1,-3)】