（2013•常州模拟）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点E的坐标；（2）当

Question

（2013•常州模拟）如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=30°，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点E的坐标；
（2）当∠PAE=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=30°，
∴OE=(AO)/(tan∠AEO)=3√(3)，
∴点E的坐标为（3√(3)，0）；
（2）如图1所示：

∵∠PAE=15°，∠AEO=30°，
∴∠APO=∠PAE+∠AEO=45°，
∴OP=OA=3，
∴QP=7，
∴t=7秒；

如图，∵∠AEO=30°，∠PAE=15°，
∴∠APE=15°=∠PAE，
∴AE=PE，
∵AE=(AO)/(sin30°)=6，
∴t=QP=OQ+OE+PE=10+3√(3)；
∴t=7或10+3√(3)s．

（3）∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，
∴点A为切点，如图2所示：

∵AE=6，∠AEO=30°，
∴PE=(AE)/(cos∠AEO)=4√(3)，
∴QP=QE-PE=（4+3√(3)）-4√(3)=4-√(3)，
∴t=（4-√(3)）秒．

当点P与O重合时，⊙P与AC相切，
∴t=4秒；

当PA=PB时，⊙P与BC相切，
设OP=x，则PB=PA=6-x，
在Rt△OAP中，x²+3²=（6-x）²，
解得：x=(9)/(4)，
∴t=4+(9)/(4)=(25)/(4)（秒）；
∴t=4-√(3)或4或(25)/(4)秒．