鬼谷考徒（智力测试）鬼谷考徒孙膑,庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数,把积告诉孙,把和告诉庞.庞说：我虽然不能确定这两个数是什么,但是我

Question

鬼谷考徒（智力测试）
鬼谷考徒孙膑,庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数,把积告诉孙,把和告诉庞.庞说：我虽然不能确定这两个数是什么,但是我肯定你也不知道这两个数是什么.孙说：我本来的确不知道,但是听你这么一说,我现在能够确定这两个数字了.庞说：既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了.问这两个数字是什么?为什么?

Answer 1

网上有好多这题的答案,可以看看：
孙庞猜数的手算推理解法:
　　1)按照庞的第一句话的后半部分,我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54.
　　因为如果和54＜S＜54+99,那么S可以写为S=53+a,a＜=99.如果鬼谷子选
的两个数字恰好是53和a,那么孙知道的积M就是M=53× a,于是孙知道,这原
来两个数中至少有一个含有53这个因子,因为53是个素数.可是小于100,又有
53这个因子的,只能是 53本身,所以孙就可以只凭这个积53×a推断出这两个
数术53和a.所以如果庞知道的 S大于54的话,他就不敢排除两个数是53和a这
种可能,也就不敢贸然说“但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这种话.
　　如果53+99＜S＜=97+99,那么S可以写为S=97+a,同以上推理,也不可能.
　　如果S=98+99,那么庞可以立刻判断出,这两个数只能是98和99,而且M只
能是98×99,
　　孙也可以知道这两个术,所以显然不可能.
　　2)按照庞的第一句话的后半部分,我们还可以肯定庞知道的和S不可以表示
为两个素数的和.
　　否则的话,如果鬼谷子选的两个数字恰好就是这两个素数,那么孙知道积M
后,就可以得到唯一的素因子分解,判断出结果.于是庞 还是不敢说“但是我
肯定你也不知道这两个数是什么”这种话.
　　根据哥德巴赫猜想,任何大于4的偶数都可以表示为两个素数之和,对54以
下的偶数,猜想肯定被验证过,所以S一定不能是偶数.
　　另外型为S=2+p的奇数,其中p是奇素数的那些S也同样要排除掉.
　　还有S=51也要排除掉,因为51=17+2×17.如果鬼谷子选的是(17,2×17),
那么孙知道的将是M=2×17×17,他对鬼谷子原来的两数的猜想只能是(17,2×
17).（为什么51要单独拿出来,要看下面的推理）
　　3)于是我们得到S必须在以下数中：
　　11 17 23 27 29 35 37 41 47 53
　　另外一方面,只要庞的S在上面这些数中,他就可以说“但是我肯定你也不
知道这两个数是什么”,因为这些数无论怎么拆成两数和,都至少有一个数是
合数（必是一偶一奇,如果偶的那个大于2,它就是合数,如果偶的那个等于2
,我们上面的步骤已经保证奇的那个是合数）,也就是S只能拆成a) S=2+a×b
　或　b) S=a+2^n×b这两个样子,其中a和b都是奇数,n>=1.那么（下面我说
的“至少两组数”中的两组数都不相同,而且的确存在（也就是那些数都小于
100）的理由我就不写了,根据条件很显然）
　　a)或者孙的M=2×a×b,孙就会在(2×a,b)和(2,a×b)至少两组数里拿不定
主意（a和b都是奇数,所以这两组数一定不同）；
　　b)或者M=2^n×a×b,
　　如果n>1,那么孙就会在(2^(n-1)×a,2×b)和(2^n×a,b)至少两组数里拿
不定主意；
　　如果n=1,而且a不等于b,那么孙就会在(2×a,b)和(2b,a)至少两组数里拿
不定主　　意；
　　如果n=1,而且a等于b,这意味着S=a+2×a=3a,所以S一定是3的倍数,我
们只要
　　讨论S=27就可以了.27如果被拆成了S=9+18,那么孙拿到的M=9×18,他就
会在
　　(9,18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意.
　　（上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的,我不知道上面的
论证是否
　　过分烦琐了,但是看看51这个“特例”,我怀疑严格的论证可能就得这么
烦） 现在我们知道,当且仅当庞得到的和数S在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35,
37, 41, 47, 53} 中,他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么,但是我
肯定你也不知道这两个数是什么”这句话　　孙膑可以和我们得到同样的结论
,他还比我们多知道那个M.
　　4)孙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明,他把M分解成素因子后,
然后组合成关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想中,有且 仅有一个猜想的和在
C中.否则的话,他还是会在多个猜想之间拿不定主意.
　　庞涓听了孙的话也可以得到和我们一样的结论,他还比我们多知道那个S.
　　5)庞的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明,他把S拆成两数和后
,也得到了关于鬼谷子的那两个数的若干个猜想,但是在 所有这些拆法中,只
有一种满足4)里的条件,否则他不会知道究竟是哪种情况,使得孙膑推断出那
两个数来.
　　于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S,其中n＞1
,p为素数.因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2,无论是 (2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这
两种情况,孙膑都可以由M=2^n1×p1或M=2^n2×p2来断定出正确的结果,因为
由M得到的各种两数组合,只有 (2^n,p)这样的组合,两数和才是奇数,从而在
C中,于是孙膑就可以宣布自己知道了是怎么回事,可庞涓却还得为(2^n1,p1)
还是(2^n2, p2)这 两种情况犯愁.
　　因为11=4+7=8+3,23=4+19=16+7,27=4+23=16+11,35=4+31=16+19,
37=8+29=32+5,47=4+43=16+31.于是S的可能值只能在17 29 41 53中.让我们
继续缩小这个表.
　　29不可能,因为29=2+27=4+25.无论是(2,27)和(4,25),孙膑都可以正确
判断出来：
　　a)如果是(2,27),M=2×27=2×3×3×3,那么孙可以猜的组合是(2,27)
(3,18)(6,9),
　　后面两种对应的S为21和15,都不在C中,故不可能,于是只能是(2,27).
　　b)如果是(4,25),M=4×25=2×2×5×5,那么孙可以猜的组合是(2,50)
(4,25)(5,20) 　　(10,10).只有(4,25)的S才在C中.
　　可是庞涓却要为孙膑的M到底是2×27还是4×25苦恼.
　　41不可能,因为41=4+37=10+31.后面推理略.
　　53不可能,因为53=6+47=16+37.后面推理略.
　　研究一下17.这下我们得考虑所有17的两数和拆法：
　　(2,15)：那么M=2×15=2×3×5=6×5,而6+5=11也在C中,所以一定不是这
个M,否则4)的条件不能满足,孙“我现在能够确定这两 个数字了”的话说不
出来.
　　(3,14)：那么M=3×14=2×3×7=2×21,而2+21=23也在C中.后面推理略.
　　(4,13)：那么M=4×13=2×2×13.那么孙可以猜的组合是(2,26)(4,13),
只有(4,13)的和在C中,所以这种情况孙膑可以说4)中的话.
　　(5,12)：那么M=5×12=2×2×3×5=3×20,而3+20=23也在C中.后面推理
略.
　　(6,11)：那么M=6×11=2×3×11=2×33,而2+33=35也在C中.后面推理略
.
　　(7,10)：那么M=7×10=2×5×7=2×35,而2+35=37也在C中.后面推理略.
　　(8,9)：那么M=8×9=2×2×2×3×3=3×24,而3+24=27也在C中.后面推理
略.
　　于是在S=17时,只有(4,13)这种情况,孙膑才可以猜出那两数是什么,既
然如此,庞涓就知道这两个数是什么,说出“我现 在也知道这两个数字是什么
了”.听了庞涓的话,于是我们也知道,这两数该是(4,13).