求证:把一个自然数拆分成n个数的和,使这n个数的积最大,这n个数应只有2和3,且2最多有2个

Question

求证:把一个自然数拆分成n个数的和,使这n个数的积最大,这n个数应只有2和3,且2最多有2个

Answer 1

设有自然数Z≥2,拆分成n个自然数的和:Z=Z1+Z2+...+Zn,Z1、Z2、...、Zn均≥1,n≥1；令P=Z1Z2...Zn；另外,Z可拆分成若干3和最多两个2的和,即Z=3a+2b①,a≥0为整数,0≦b≦2为整数；可以证明P≦(3∧a)(2∧b),即在所有拆分方案中,方案①拆分项的乘积最大.本题的证明要用到一个不等式:(Z1Z2...Zn)∧(1/n)≦(Z1+Z2+...+Zn)/n(这里直接引用该不等式而不加证明),由该不等式可得:Z1XZ2...Zn≦[(Z1+Z2+...+Zn)/n]∧n,即P≦(Z/n)∧n②；令X=ln[(Z/n)∧n],X=nln(Z/n),dX/dn=ln(Z/n)-1,令dX/dn=0得Z/n=e③(e为自然对数的底数,约为2.71828)；另d∧2X/dn∧2=-1/n＜0,所以当Z/n=e时,X取得最大值,因X和(Z/n)∧n为自然对数关系,而自然对数为增函数,所以当Z/n=e时,(Z/n)∧n取得最大值；但是Z、n均是自然数,Z/n是一个有理数,而e为无理数,所以从理论上讲Z/n不可能等于e,但是Z/n=e却告诉我们:对自然数Z的拆分项只有最接近e时,拆分项的乘积P才能最大,显然3最接近e,其次是2最接近e,所以使拆分项乘积最大的拆分方案为:首先拆分出尽可能多的3,如果剩余的数为0或2,则拆分结束；如果剩余的数为1,那么将已拆好的一个3和剩余的1拆成两个2,拆分结束；按照这种拆分方案,2和3拆分的结果就是它本身(实际不拆分),4拆为2+2,5拆为3+2,6拆为3+3,7拆为3+2+2,8拆为3+3+2,等等.