磁带录音机的空带轴以恒定的角速度（即单位时间内转过的角度恒定）转动，重新绕上磁带，绕好后带卷的末半径r2为初半径r1的3倍，绕带的时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁

Question

磁带录音机的空带轴以恒定的角速度（即单位时间内转过的角度恒定）转动，重新绕上磁带，绕好后带卷的末半径r₂为初半径r₁的3倍，绕带的时间为t₁．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半、长度与原磁带相同的薄磁带，需多少时间？

Answer 1

设初半径r 末半径3r 第一次的磁带厚d 第二次的磁带厚(d)/(2)
第二卷的半径为R
第一次卷好后的磁带截面积为S=π（3r）²-π（r）²=8πr²
所以磁带的长度为l=(s)/(d)=(8πr2)/(d)
当换成薄磁带后，长度还是一样，但卷好的截面积不一样
所以S′=l×(d)/(2)=4πr²
再由等面积得 4πr²+πr²=πR²
解得 R=√(5r)
所以第二次卷的圈数为 n₂=((R−r))/((d)/(2))=(2(√(5)−1)r)/(d)
因为第一次卷的圈数为 n₁=(2r)/(d)
因为 t=nT（T为周期） 且角速度ω一定
所以 t₁：t₂=n₁：n₂
(t1)/(t2)=(n1)/(n2)
所以 t₂=（√(5)-1）t₁；
答：需要时间为（√(5)-1）t₁；