两个子环之积是否为子环?大学《近世代数》中的一个问题,自己没有证出来,希望网友们可以帮忙!我知道：两个子群之积不一定是子群,也知道两个子环之积一定是子环!

Question

两个子环之积是否为子环?大学《近世代数》中的一个问题,自己没有证出来,希望网友们可以帮忙!
我知道：两个子群之积不一定是子群,也知道两个子环之积一定是子环!

Answer 1

仅供参考.
请问您的"子环的积"的定义是什么?
如果对于一个环 R 的子环 A,B ,定义它们的积
A*B = the set of all ab ,where a ∈A ,b∈B
似乎一般 这个 A*B 不是子环.例如取
R = 实数域
A = Z [ sqrt(2)] (sqrt 指 开平方根)
B = Z [ sqrt(3)]
此时 sqrt(2) ,sqrt(3) 都属于 A*B ,但是 他们的和 sqrt(2) + sqrt(3) 不属于 A*B.
另注:
1) 对于一个交换环 R ,两个理想 I,J 的积被定义为
IJ = all finite sums of a,b where a ∈I ,b∈J
它是由 R 的子集 { ab | a ∈I ,b∈J } 生成的理想.
如果您的书上类似地定义 (交换环的) "子环的积",那么我觉得在这种定义下"子环的积"仍然是子环.
非交换环我不清楚.
2) 以上提到的环都是指有单位元的环(ring with unit element ),包括零环 {0} (即 0 = 1 的环) ; 并且子环必须和原来的环有相同的单位元.这种定义在代数几何和代数数论中是足够令人满意的,但是有些书上并不是这样,请注意.