双缝干涉现象里亮纹与暗纹间的距离=波长*L/d公式是怎么推导出来的?

Question

双缝干涉现象里
亮纹与暗纹间的距离=波长*L/d 公式是怎么推导出来的?

Answer 1

双缝间距d,双缝到屏的距离为L双缝S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0,第一亮条纹P到P0的距离为x,S1到P的距离为L1,S2到P的距离为L2,有勾股定理得：
L1^2=L^2+(x-d/2)^2
L2^2=L^2+(x+d/2)^2
两式相减得（L2-L1)(L2+L1)=2dx
L2-L1很小,可认为等于波长,L1+L2可认为等于2L
所以可得距离=波长*L/d
设双缝距离为d ,双缝到屏距离为L (一般要求L＞＞d),干涉装置的对称轴与屏交点为O .
屏上某点P,与O点距离x,到两条缝（S1、S2）的距离分别为d1、d2,
d1 = [(x-d/2)^2 + L^2]^-2
d1 = [(x-d/2)^2 + L^2]^-2
于是：
(d2)^2 - (d1)^2 = 2xd
则光程差 Δ = d2 - d1 = 2xd/(d2+d1)
当L＞＞d,则在傍轴区有L＞＞x,于是
d1+d2≈2L
则有：
Δ = d2 - d1 = (d/L)x
x = (L/d)Δ
根据干涉的原理,当光程差为波长整数倍时为亮条纹,为半波长时为暗条纹.
所以对于m级亮条纹,有：
Δm = mλ
于是 Xm = (L/d)mλ
同理,Xm+1 = (L/d)(m+1)λ
于是条纹间距为：
ΔX = Xm+1 - Xm = (L/d)λ