求教一道高二数学椭圆题，要详细过程，快，高分，速度！！！已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，/PQ/=根号10/2,求这个椭圆方程。

Question

求教一道高二数学椭圆题，要详细过程，快，高分，速度！！！已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，/PQ/=根号10/2,求这个椭圆方程。

Answer 1

PQ=2/√10 y=x+1 设椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1，y=x+1代入椭圆方程，得 b^2*x^2+a^2*(x+1)^2=a^2*b^2 (a^2+b^2)x^2+2a^2*x+a^2-a^2*b^2=0 y=x+1与该椭圆相交于P,Q，则 xP+xQ=-2a^2/(a^2+b^2) xP*xQ=(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2) (yP-yQ)^2=(xP-xQ)^2=(xP+xQ)^2-4xP*xQ=4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2 (xP-xQ)^2+(yP-yQ)^2=PQ^2 2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=(2/√10)^2=2/5 20(ab)^2*(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2......(1) OP⊥OQ (yP/xP)*(yQ/xQ)=-1 yP*yQ=-xP*xQ yP=xP+1,yQ=xQ+1 yP*yQ=(xP+1)*(xQ+1) -xP*xQ=(xP+1)*(xQ+1) 2xP*xQ+(xP+xQ)+1=0 2(a^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)-2a^2/(a^2+b^2)+1=0 a^2+b^2-2a^2*b^2=0 b^2=a^2/(2a^2-1)......(2) 解方程组（1）、（2），得 a^2、b^2的值 即可得椭圆方程: 2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=（√10)^2=10 20(ab)^2*(a^2+b^2-1)=(a^2+b^2)^2......(1) b^2=a^2/(2a^2-1)......(2) 解方程组（1）、（2），得 a^2=1/3 b^2=-1 PQ=√10/2 2*4(ab)^2*(a^2+b^2-1)/(a^2+b^2)^2=（√10/2）^2=5/4......(1) b^2=a^2/(2a^2-1)......(2) a^2=2,2/3 b^2=2/3,2 可知应该是PQ=√10/2 椭圆方程有两个,即: x^2/2+y^2/(2/3)=1 或者x^2/(2/3)+y^2/2=1