探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m．笔的弹跳过程分为三个阶段：①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端

Question

探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m．笔的弹跳过程分为三个阶段：


①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面（图a）；
②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h ₁ 时，与静止的内芯碰撞（图b）；
③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h ₂ 处（图c）．
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；
（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；
（3）从外壳下端离开桌面到上升至h ₂ 处，笔损失的机械能．

Answer 1

设外壳上升高度h ₁ 时速度为V ₁ ，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为V ₂ ，
（1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h ₂ 处，应用动能定理有：
（4m+m）g（ h ₂ -h ₁ ）= (1)/(2) （4m+m）V ₂ ² ，
解得V ₂ =

2g( h 2 - h 1 )

；
（2）外壳和内芯，碰撞过程瞬间动量守恒，应用动量守恒定律有：
4mV ₁ =（4m+m）V ₂ ，
解得V ₁ = (5)/(4)

2g( h 2 - h 1 )

，
设从外壳离开桌面到碰撞前瞬间弹簧做功为W，在此过程中，对外壳应用动能定理有
W-4mgh ₁ = (1)/(2) （4m）V ₁ ² ，
解得：W= (25 h2 -9 h1)/(4) mg；
（3）由于外壳和内芯达到共同速度后上升高度h ₂ 的过程，机械能守恒，只是在外壳和内芯碰撞过程有能量损失，损失的能量为E _损 = (1)/(2) （4m）V ₁ ² - (1)/(2) （4m+m）V ₂ ² ，
联立解得E _损 = (5)/(4) mg（h ₂ -h ₁ ）．
答：（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小是

2g( h 2 - h 1 )

；
（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功是 (25 h2 -9 h1)/(4) mg；
（3）从外壳下端离开桌面到上升至h ₂ 处，笔损失的机械能 (5)/(4) mg（h ₂ -h ₁ ）．