某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所

Question

某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．

（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；
（2）求l的最小值．

Answer 1

（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，
∴△BMN≌△EMN，
∴∠BNM=∠MNE，
∵∠AME=2θ，
∴∠BNM=∠MNE=θ，
设MN=x，
在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，
∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，
∵AM+BM=a，
∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，
∴x=(a)/(sinθcos2θ+sinθ)，
∴l=EM+MN=(a)/(2sinθ(1-sinθ))，θ∈（0，(π)/(4)）；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，(√(2))/(2)），
∴f（θ）≤(1)/(4)，
当且仅当θ=(π)/(6)时，取得最大值(1)/(4)，此时l_min=2a．