菲波那契数列的奥秘

Question

菲波那契数列的奥秘

Answer 1

大约在公元1225年,神圣罗马帝国王腓德烈第二忽然心血来潮,要在宫廷学者和民间名士之间举行一次数学对抗赛.宫廷因久闻数学家菲波那契的盛名,就将他召进宫中.
一上来,宫廷学者约翰就向菲波那契抛出几个难题,试图先声夺人.其中一题是这样的：求一数,它的平方加5或减5后仍然是平方数.菲波那契
沉思片刻,便找到了这样一个数,即分数41/12.由此可见,菲波那契有多么惊人的数学洞察力和想象力!从此,他赢得了宫廷的尊敬.
菲波那契是欧洲数学复兴的先驱者.在其一生中,曾出版过《实用几何》、《求积之书》、《开花》等著作,对阿拉伯数学和古希腊数学的全部成果均有较详尽的介绍,其中包括印度-阿拉伯数码、记数制、分数算法、开平方和开立方算法、盈不足术以及欧几里得《几何原本》和古希腊三角学的大部分内容.在著述中,菲波那契也发表了自己的不少新发现.
菲波那契的数学代表作是《算盘书》,这是一部推动了欧洲中世纪数学发展的名著.在他的代表作中,菲波那契提出了这样的问题：
有小兔一对,若在它们出生后第二个月成年,第三个月就有生殖能力,而有生殖能力的一对兔子每一个月都生一对兔子.设所生的一对兔均为一雌一雄,且均无死亡.问新生的一对兔子一年后可以繁殖成多少对兔子?
我们可以用图表示兔子的繁殖情况.假如用“.”表示成熟的一对兔子,用“0”表示未成熟的一对兔子,则由第一对兔子开始前六个月的繁殖情况可用图表示：
由此可知：当月的兔子对数等于上个月的兔子对数加上这个月出生的兔子对数；而这个月出生的兔子对数又等于当月有生殖能力的兔子对数,即等于前两个月的兔子对数.即第n个月后的兔子对数fn,是在前一个月已有的兔子对数fn-1 的基础上增加的,增加的对数是当月有生殖能力的兔子对数,它等于前两个月就有的兔子对数fn-2,这样我们就有
fn=fn-1+fn-2