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长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即
题目详情
长江汛期即将来临,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图,灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是a°/秒,灯B转动的速度是b°/秒,且a、b满足|a-3b|+(a+b-4)2=0.假定这一带长江两岸河堤是平行的,即PQ∥MN,且∠BAN=45°
(1)求a、b的值;
(2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.

(1)求a、b的值;
(2)若灯B射线先转动20秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
(3)如图,两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于点D,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请求出其取值范围.

▼优质解答
答案和解析
(1)∵a、b满足|a-3b|+(a+b-4)2=0,
∴a-3b=0,且a+b-4=0,
∴a=3,b=1;
(2)设A灯转动x秒,两灯的光束互相平行,
①在灯A射线转到AN之前,
3t=(20+t)×1,
解得t=10;
②在灯A射线转到AN之后,
3t-3×60+(20+t)×1=180°,
解得t=85,
综上所述,当t=10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;
(3)设灯A射线转动时间为t秒,
∵∠CAN=180°-3t,
∴∠BAC=45°-(180°-3t)=3t-135°,
又∵PQ∥MN,
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t,
而∠ACD=90°,
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-(180°-2t)=2t-90°,
∴∠BAC:∠BCD=3:2,
即2∠BAC=3∠BCD.

∴a-3b=0,且a+b-4=0,
∴a=3,b=1;
(2)设A灯转动x秒,两灯的光束互相平行,
①在灯A射线转到AN之前,
3t=(20+t)×1,
解得t=10;
②在灯A射线转到AN之后,
3t-3×60+(20+t)×1=180°,
解得t=85,
综上所述,当t=10秒或85秒时,两灯的光束互相平行;
(3)设灯A射线转动时间为t秒,
∵∠CAN=180°-3t,
∴∠BAC=45°-(180°-3t)=3t-135°,
又∵PQ∥MN,
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t,
而∠ACD=90°,
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-(180°-2t)=2t-90°,
∴∠BAC:∠BCD=3:2,
即2∠BAC=3∠BCD.
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