关于复变函数中的开集0.0开集,所有元素均是内点的点集.下面求问：在指定的一个区域内（如|z|

Question

关于复变函数中的开集0.0
开集,所有元素均是内点的点集.下面求问：在指定的一个区域内（如|z|

Answer 1

既不是开集也不是闭集——首先,任何一点任何邻域内均包含实部虚部均为有理数的点,所以开集肯定不满足；再考虑收敛情况,假设数列{an}都是有理数,并且收敛到一个无理数q=π/10,an和q都在给定区域内,一个无理数1-π/10,那么复数列{ an+i(1-π/10) }就是一个实部虚部和为无理数的数列（有理数加无理数一定是无理数）,但是它收敛到点q+i(1-π/10),这时候实部虚部和为1,那么显然这个集合不是闭集,因为存在Cauchy列收敛到集合外——所以你说的集合既不是开集也不是闭集.