在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形

Question

在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．

（1）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
（3）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，四边形EGFH为菱形．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC=√(32+42)=√(5)，∠GAF=∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△AFG与△CEH中，

AG=CH

∠GAF=∠HCE

AF=CE

∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE
同理：GE=HF
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2） 如下图所示，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH=BC=4，
∴当EF=GH=4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5-2t=4，
解得：t=0.5．
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4
解得：t=4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
                      
（3）如下图所示，连接AG、CH

∵如果四边形EGFH是菱形，
则必有EF⊥GH，OE=OF，OG=OH
∴易证△CAB∽△CGO
∴(AB)/(OG)=(AC)/(CG)
∴(3)/(OG)=(5)/(7-t)
∴OG=(21-3t)/(5)
又在Rt△ABG中，AB=3，BG=t-3，
∴AG²=（t-3）²+9，
∴在Rt△AGO中，（t-3）²+9=（(5)/(2)）²+（(21-3t)/(5)）²，
化简得：64t²-96t-589=0
           （8t-6）²=625，
             8t-6=±25
       解得：t₁=(31)/(8)或t₂=-19（舍去）
即：当t为(31)/(8)秒时，四边形EGFH为菱形．