球的表面积是4πr2,怎门证明呀?如果把最大球面看做是无数条平行直线组成的,那球的表面积应该是π×πr²,4总不能等于π吧,哪里出错了呢?

Question

球的表面积是4πr2,怎门证明呀?
如果把最大球面看做是无数条平行直线组成的,那球的表面积应该是π × π r²,4总不能等于π吧,哪里出错了呢?

Answer 1

先证明球的体积公式.
看一个半径为R的半球（一个球体的上半部分）,和一个底面积为R高为R的圆柱,中间掏空一个底面积为R,高为R的倒立圆锥（尖朝下）.
比较这两个几何体.任意距底面高度为H处的水平横截面.
根据勾股定理,球截面面积为π ×（R^2-H^2）,掏空后的圆柱截面积为：π ×R^2-π ×H^2
任意截面面积相等,所以这两个几何体体积相等.半球体=π ×R^3-π ×R^3/3=(2/3)*π ×R^3
球体积=(4/3)*π ×R^3
再证表面积公式.
把球看成无数个锥体,每个锥体底面积在球表面,尖尖在圆心.组成的一个球(就象切西瓜切成无数块)
每个锥体的底面各为Si,高为R.体积为(1/3)*Si*R
全部加起来,V=(1/3)*R*(s1+s2+s3+s4+……)=（1/3）*R*S
故S=3V/R=4π ×R^2