在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah．例如：三点坐

Question

在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义：“水平底”a：任意
两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1,2）,B（-3,1）,C（2,-2）,则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1,3）,B（-2,1）,P（0,t）．
①若A,B,P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标；
②直接写出A,B,P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E（4,0）,F（0,2）,M（m,16/m）,其中m＞0．
③直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应m的取值范围．

Answer 1

(1）①首先由题意：a=4,然后分别从①当t＞2时,h=t-1,当t＜1时,h=2-t,去分析求解即可求得答案；
②首先根据题意得：h的最小值为：1,继而求得A,B,P三点的“矩面积”的最小值．
（2）①由E,F,M三点的“矩面积”的最小值为8,可得a=4,h=2,即可得
0≤m≤4
0≤4m≤2 ．继而求得m的取值范围；
②分别从当n≤4时,a=4,h=16/n ,当4＜n＜8时,a=n,h=16/n ,当n≥8时,a=n,h=2,去分析求解即可求得答案．
（1）由题意：a=4．
①当t＞2时,h=t-1,
则4（t-1）=12,可得t=4,故点P的坐标为（0,4）；
当t＜1时,h=2-t,
则4（2-t）=12,可得t=-1,故点P 的坐标为（0,-1）；
②∵根据题意得：h的最小值为：1,
∴A,B,P三点的“矩面积”的最小值为4；
（2）①∵E,F,M三点的“矩面积”的最小值为8,
∴a=4,h=2,
0≤m≤4
0≤4m≤2

∴0≤m≤1/2 ．
∵m＞0,
∴0＜m≤1/2 ；
②∵当n≤4时,a=4,h=16 /n ,此时S=ah=64/n ,
∴当n=4时,取最小值,S=16；
当4＜n＜8时,a=n,h=16/n
,此时S=ah=16；
当n≥8时,a=n,h=2,此时S=ah=2n,
∴当n=8时,取最小值,S=16；
∴E,F,N三点的“矩面积”的最小值为16,此时n的取值范围为4≤n≤8．