在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．（1）设矩形的一边BC为x，那么AB边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y平方米，当x取何值时，y的

Question

在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其顶点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．

（1）设矩形的一边BC为x，那么AB边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为y平方米，当x取何值时，y的最大值为多少？

Answer 1

（1）

∵AD∥BC，
∴tan∠OAD=tan∠AEB=(30)/(40)=(3)/(4)，
∴sin∠AEB=(3)/(5)，cos∠OAD=(4)/(5)，
设BC=x，则AD=x，
∴OA=AD•cos∠OAD=(4)/(5)x，
∴AE=40-(4)/(5)x，
∴AB=AE•sin∠AEB=(3)/(5)（40-(4)/(5)x）=24-(12)/(25)x；
（2）设矩形的面积为y平方米，
则y=AB•BC=（24-(12)/(25)x）x=-(12)/(25)x²+24x，
当x=-(b)/(2a)=-(24)/(2×(-(12)/(25)))=25时，y有最大值为300cm²．