一个对称矩阵有什么样的性质？有什么简便的方法算它的逆吗？

Question

一个对称矩阵有什么样的性质？有什么简便的方法算它的逆吗？

Answer 1

把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'即
【矩阵转置的运算律】(即性质):
1.(A')'=A
2.(A+B)'=A'+B'
3.(kA)'=kA'(k为实数)
4.(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。
1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
用表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。
任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X?XT)
每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
如果X是对称矩阵,那幺AXAT也是对称矩阵.
好像没有什么简便的方法算它的逆