一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出

Question

一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a_k}，（k=1，2，3，…，n）．试求：
（1）a₁，a₂，a₃
（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？
（3）求数列{a_k}的前 k项和S_K并证明：S_K＜(1)/(6)n3．

Answer 1

（1）由题意得：
a₁=n-1，
a₂=（n-1）+（n-2）-1，
a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
（2）在第k站出发时，前面放上的邮袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）个，
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k-1）个，
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]
=kn-(1)/(2)k(k+1)−(1)/(2)k(k−1)
=kn-k²（k=1，2，…，n）．
即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数kn-k²（k=1，2，…n）个
（3）∵a_k=kn-k²，
∴Sk＝(n+2n+…+kn)−(12+22+…+k2)，
∵a_k=k（n-k）＞0，
∴S_k单调递增，
∴Sk≤Sn＝(n3−n)/(6)＜(1)/(6)n3．