某人的一串钥匙有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，当他随意地试用这串钥匙时，求：打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差，假定．（1）把每次试用过的钥匙分开；（2

Question

某人的一串钥匙有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，当他随意地试用这串钥匙时，求：打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差，假定．
（1）把每次试用过的钥匙分开；
（2）把每次试用过的钥匙再混杂在这串钥匙中．

Answer 1

（1）由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1，2，…，n，
P（X=i）=(1)/(n)，i=0，1，2，…，n-1，
∴X的数学期望EX=（1+2+3+…+n）×(1)/(n)=(n+1)/(2)，
EX²=

n

i=1

i²•(1)/(n)=((n+1)(2n+1))/(6)，
∴X的方差为DX=EX²-（EX）²=(n2-1)/(12)．
（2）由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1，2，…，n，
P（X=k）=（(n-1)/(n)）^k-1•(1)/(n)，k=1，2，…
EX=

∞

k=1

k•((n-1)/(n))k-1•(1)/(n)=n，
EX²=

∞

k=1

k2•((n-1)/(n))k-1•(1)/(n)=2n²-n，
DX=（EX）²-EX²=n（n-1）．