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某人的一串钥匙有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,当他随意地试用这串钥匙时,求:打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差,假定.(1)把每次试用过的钥匙分开;(2
题目详情
某人的一串钥匙有n把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,当他随意地试用这串钥匙时,求:打开门时已被试用过的钥匙数的数学期望与方差,假定.
(1)把每次试用过的钥匙分开;
(2)把每次试用过的钥匙再混杂在这串钥匙中.
(1)把每次试用过的钥匙分开;
(2)把每次试用过的钥匙再混杂在这串钥匙中.
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1,2,…,n,
P(X=i)=
,i=0,1,2,…,n-1,
∴X的数学期望EX=(1+2+3+…+n)×
=
,
EX2=
i2•
=
,
∴X的方差为DX=EX2-(EX)2=
.
(2)由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1,2,…,n,
P(X=k)=(
)k-1•
,k=1,2,…
EX=
k•(
)k-1•
=n,
EX2=
k2•(
)k-1•
=2n2-n,
DX=(EX)2-EX2=n(n-1).
P(X=i)=
| 1 |
| n |
∴X的数学期望EX=(1+2+3+…+n)×
| 1 |
| n |
| n+1 |
| 2 |
EX2=
| n |
![]() |
| i=1 |
| 1 |
| n |
| (n+1)(2n+1) |
| 6 |
∴X的方差为DX=EX2-(EX)2=
| n2-1 |
| 12 |
(2)由已知得打开门时已被试用过的钥匙数X的可能取值为1,2,…,n,
P(X=k)=(
| n-1 |
| n |
| 1 |
| n |
EX=
| ∞ |
![]() |
| k=1 |
| n-1 |
| n |
| 1 |
| n |
EX2=
| ∞ |
![]() |
| k=1 |
| n-1 |
| n |
| 1 |
| n |
DX=(EX)2-EX2=n(n-1).
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