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小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线CA剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中∠ACB=α,然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放,△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC
题目详情
小华将一张矩形纸片(如图1)沿对角线CA剪开,得到两张三角形纸片(如图2),其中∠ACB=α,然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放,△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上,直角边DF落在AC所在的直线上.

(1)若ED与BC相交于点G,取AG的中点M,连接MB、MD,当△EFD纸片沿CA方向平移时(如图3),请你观察、测量MB、MD的长度,猜想并写出MB与MD的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)在(1)的条件下,求出∠BMD的大小(用含α的式子表示),并说明当α=45°时,△BMD是什么三角形;
(3)在图3的基础上,将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度(旋转角度小于90°),此时△CGD变成△CHD,同样取AH的中点M,连接MB、MD(如图4),请继续探究MB与MD的数量关系和∠BMD的大小,直接写出你的猜想,不需要证明,并说明α为何值时,△BMD为等边三角形.

(1)若ED与BC相交于点G,取AG的中点M,连接MB、MD,当△EFD纸片沿CA方向平移时(如图3),请你观察、测量MB、MD的长度,猜想并写出MB与MD的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)在(1)的条件下,求出∠BMD的大小(用含α的式子表示),并说明当α=45°时,△BMD是什么三角形;
(3)在图3的基础上,将△EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度(旋转角度小于90°),此时△CGD变成△CHD,同样取AH的中点M,连接MB、MD(如图4),请继续探究MB与MD的数量关系和∠BMD的大小,直接写出你的猜想,不需要证明,并说明α为何值时,△BMD为等边三角形.
▼优质解答
答案和解析
(1)MB=MD,
证明:∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中,MB=
AG
在Rt△ADG中,MD=
AG
∴MB=MD.
(2)∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM,
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM,
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC,
而∠BAC=90°-α,
∴∠BMD=180°-2α,
∴当α=45°时,∠BMD=90°,此时△BMD为等腰直角三角形.
(3)当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度,仍然存在MB=MD,
∠BMD=180°-2α,
故当α=60°时,△BMD为等边三角形.
解法:延长DM至N,使MN=DM,连AN、BN、BD,则有AN=DH,∠NAM=∠DHM

∵∠1=∠AHD+∠2
∴∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB,
∴∠NAB=∠DCB,
∵∠CDH=∠ABC=90°,∠DCH=∠BCA,
∴△CDH∽△CBA,
∴DH:AB=CD:BC,
∴AN:AB=CD:BC,
∴△NAB∽△DCB,
∴∠NBA=∠DBC
∴∠NBD=90°,
∴BM=MD,
由△NAB∽△DCB得NB:AB=BD:BC
∴△NBD∽△ABC,
∴∠BNM=∠BAC,
∵∠BMD=2∠BNM
∴∠BMD=2(90°-α)=180°-2α.
证明:∵AG的中点为M∴在Rt△ABG中,MB=
1 |
2 |
在Rt△ADG中,MD=
1 |
2 |
∴MB=MD.
(2)∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM,
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM,

∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC,
而∠BAC=90°-α,
∴∠BMD=180°-2α,
∴当α=45°时,∠BMD=90°,此时△BMD为等腰直角三角形.
(3)当△CGD绕点C逆时针旋转一定的角度,仍然存在MB=MD,
∠BMD=180°-2α,
故当α=60°时,△BMD为等边三角形.
解法:延长DM至N,使MN=DM,连AN、BN、BD,则有AN=DH,∠NAM=∠DHM

∵∠1=∠AHD+∠2
∴∠BAM+90°=∠AHD+90°-∠DCB,
∴∠NAB=∠DCB,
∵∠CDH=∠ABC=90°,∠DCH=∠BCA,
∴△CDH∽△CBA,
∴DH:AB=CD:BC,
∴AN:AB=CD:BC,
∴△NAB∽△DCB,
∴∠NBA=∠DBC
∴∠NBD=90°,
∴BM=MD,
由△NAB∽△DCB得NB:AB=BD:BC
∴△NBD∽△ABC,
∴∠BNM=∠BAC,
∵∠BMD=2∠BNM
∴∠BMD=2(90°-α)=180°-2α.
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