在一条走廊上有10000个灯,每个灯下有一个开关,是切换的开关,按一下就开,再按一下就关.现在这些灯全部是关着的.现在走廊来了第1个人,他经过走廊时把所有的1到10000个灯的开关都按了.第2个

Question

在一条走廊上有10000个灯,每个灯下有一个开关,是切换的开关,按一下就开,再按一下就关.现在这些灯全部是关着的.
现在走廊来了第1个人,他经过走廊时把所有的1到10000个灯的开关都按了.
第2个人来了,他把2,4,6,8,10等等一直到10000的灯的开关都按了.他按的灯都是2的倍数的灯.
第3个人来了,把3,6,9,12等等灯的开关按了,他按的是3的倍数的灯.
第4个人把4,8,12,16,20的灯开关按了,他按的是4的倍数的灯.
依此类推,直到第10000个人来,把第10000号灯的开关按下.
请问最后有哪几号灯是开着的?

Answer 1

决定灯是开是关的关键是看这个数的因数的个数是奇数还是偶数,奇数为开,偶数为关.
1有1个因数,1.开；
2有2个因数,1、2.关；
3有2个因数,1、3.关；
4有3个因数,1、2、4.开；
5有2个因数,1、5.关；
6有4个因数,1、2、3、6.关；
……
从以上不难发现,凡是因数个数为奇数的,是因为这个数是其中一个因数的平方.
所以得出结论是：
1^2,2^2,3^,4^2,5^2……100^2这些灯为开,共100个.其余的灯为关.