如图，将一张长方形大铁皮切割（切痕为虚线）成九块，其中有两块是边长都为a厘米的大正方形，两块是边长都为b厘米的小正方形，且a＞b．（1）这张长方形大铁皮长为厘米，宽为

Question

如图，将一张长方形大铁皮切割（切痕为虚线）成九块，其中有两块是边长都为a厘米的大正方形，两块是边长都为b厘米的小正方形，且a＞b．
（1）这张长方形大铁皮长为______厘米，宽为______厘米（用含a、b的代数式表示）；
（2）①求这张长方形大铁皮的面积（用含a、b的代数式表示）；
②若最中间的小长方形的周长为22厘米，大正方形与小正方形的面积之差为33厘米²，试求a和b的值，并求这张长方形大铁皮的面积；
（3）现要从切块中选择5块，恰好焊接成一个无盖的长方体盒子，共有哪几种方案可供选择（画出示意图）？按哪种方案焊接的长方体盒子的体积最大？试说明理由．（接痕的大小和铁皮的厚度忽略不计）

Answer 1

（1）（2a+b）、（a+2b）…（2分）

（2）①依题意可得：（2a+b）（a+2b）
=2a²+4ab+ab+2b²=（2a²+5ab+2b²）cm²…（4分）
②依题意得a²-b²=33即（a+b）（a-b）=33
又2（a+b）=22即a+b=11①
∴a-b=3②…（6分）
由①②式可求得
解得：a=7，b=4
当a=7，b=4时，2a²+5ab+2b²=2×7²+5×7×4+2×4²
=270
答：这张长方形大铁皮的面积是270cm²．  …（8分）

（3）共有下列四种方案可供选择：

V1＝ab_V₂=a²bV₃=a²bV₄=ab²…（12分）
∴V₁=V₄，V₂=V₃
∴V₁-V₂=ab²-a²b=ab（b-a）
∵a＞b
∴V₁=V₄＜V₂=V₃
∴方案②与③的体积最大．                             …（13分）