某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠

Question

某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D（D在平面ABC内），建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？

Answer 1

在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知(BC)/(sin60°)=(BD)/(sin(120°-θ))，
所以BD=(sin(120°-θ))/(sin60°)=cosθ+(√(3))/(3)sinθ，…（4分）
在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos（60°+θ），…（8分）
AD²=12+(cosθ+(√(3))/(3)sinθ)2-2×1×(cosθ+(√(3))/(3)sinθ)((1)/(2)cosθ-(√(3))/(2)sinθ)=1+(4)/(3)sin2θ+(4√(3))/(3)sinθcosθ=(5)/(3)+(4)/(3)sin(2θ-30°)…（14分）
当2θ-30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…（16分）