如题,证每个有理数都可表示成有限或无限位循环十进制小数这是鸽巢原理后面的作业，貌似应该用鸽巢原理来证

Question

如题,证每个有理数都可表示成有限或无限位循环十进制小数
这是鸽巢原理后面的作业，貌似应该用鸽巢原理来证

Answer 1

有理数的意思就是：可以表达成A/B的形式,A,B皆是自然数,其中B不等于0即可称之为有理数.下面就是要证明A/B可以表示为有限或无限位循环十进制小数即可.因为B是非零自然数,所以B一定有限 ；
如果A是B的有限倍,直接可以得到有限小数,我们主要讨论不能得到有限小数的情况.
A/B列竖式计算时,是这样操作的,A除以B得商,因为除不尽,会有余数,我们就从这个小于B的余数开始讨论：然后我们会在这个余数后面添0再除,又会有新的余数（因为除不尽,余数一直会存在）,但是除了有限次后,这个余数一定会与前面某次余数相同,这时再除就会出现重复,即循环.鸽巢原理的运用就在于确定这个有限次,根据余数一定小于除数B,我们相信,最多不超过B次,一定会出现循环.
因为除了B次,会出现B个余数,但是余数不会为0,也不能大于等于B,所以最多只有B-1个不同的余数,这里有B个余数,自然至少有两个余数相同,即循环就是从第二个相同的余数出开始出现的.