设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f（x）=13x3+3(3-a)2x2+9x无极值点．（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2-（2m+12

Question

设p：实数a满足不等式3^a≤9，q：函数f（x）=(1)/(3)x³+(3(3-a))/(2)x²+9x无极值点．
（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a²-（2m+(1)/(2)）a+m（m+(1)/(2)）>0，若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．

Answer 1

由3^a≤9，得a≤2，即p：a≤2．…（1分）
∵函数f（x）无极值点，∴f'（x）≥0恒成立，得△=9（3-a）²-4×9≤0，解得1≤a≤5，
即q：1≤a≤5．…（3分）
（1）∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q只有一个命题是真命题．
若p为真命题，q为假命题，则

a≤2

a<1或a>5

⇒a<1．…（5分）
若q为真命题，p为假命题，则

a>2

1≤a≤5

⇒2<a≤5．…（6分）
于是，实数a的取值范围为{a|a<1或2<a≤5}．…（7分）
（2）∵“p∧q”为真命题，∴

a≤2

1≤a≤5

⇒1≤a≤2．…（8分）
又a2-(2m+(1)/(2))a+m(m+(1)/(2))>0，
∴(a-m)[a-(m+(1)/(2))]>0，
∴a<m或a>m+(1)/(2)，…（10分）
即t：a<m或a>m+(1)/(2)，从而¬t：m≤a≤m+(1)/(2)．
∵r是¬t的必要不充分条件，即¬t是r的充分不必要条件，
∴

m≥1

m+(1)/(2)≤2

，解得1≤m≤(3)/(2)，∵m∈N^*，∴m=1…（12分）