拉伸一条橡皮筋,中间的某些点最终停在它原先的位置上,这个结论对吗?为什么?拉伸一条橡皮筋,一个端点向左,一个端点向右运动,中间的某些点最终停在它原先的位置上,这个结论对吗?为什么?

Question

拉伸一条橡皮筋,中间的某些点最终停在它原先的位置上,这个结论对吗?为什么?
拉伸一条橡皮筋,一个端点向左,一个端点向右运动,中间的某些点最终停在它原先的位置上,这个结论对吗?为什么?

Answer 1

中值定理：在闭区间[a,b]上连续的函数一定取到f(a)和f(b)之间的每一个值,换言之,如果C是f(a)和f(b)之间的任何只,那么一定存在c属于[a,b]使得C=f(c).
假设橡皮筋是沿x轴拉伸的,x是橡皮筋上的任意一点的位置,在函数f的作用下,位置变为f(x).
现在我们设橡皮筋做端点的位置是a,右端点的位置是b,那么函数f(x)的定义域是[a,b].
如果存在c属于[a,b]使得f(c)=c,那么结论是正确的,由于a点向左运动,所以f(a)b.
令g(x)=f(x)-x,那么g(a)=0,
显然0属于[g(a),g(b)],根据中值定理,存在一点c属于[a,b]使得g(c)=0.
即f(c)-c=0,f(c)=c.结论是正确的.