设二维随机变量（X，Y）在矩阵G={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f（s）．

Question

设二维随机变量（X，Y）在矩阵G={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f（s）．

Answer 1

二维随机变量（X，Y）的概率密度为：
f（x，y）=

(1)/(2)  (x，y)∈G

0  (x，y)∉G

，
设S的分布函数为F（s），
①当s＜0时，F（s）=0；
②当s≥2时，F（s）=1；
③当0≤s＜2时，
由上图可知，
xy=s与矩形G的上边交于（s，1），位于xy=s上方的点满足xy＞s，位于曲线xy=s下方的点满足xy＜s，
设：D={（x，y）∈G|xy＞s}={（x，y）|s＜x＜2，(s)/(x)＜y＜1}，
则有：
F（s）=P{S≤s}=P{xy≤s}=1-P{xy＞s}=1-

∬

D

(1)/(2)dxdy=1-(1)/(2)

∫

2 s

dx 

∫

1 (s)/(x)

dy=1-(s)/(2)(1+ln2−lns)．
于是：
f（s）=F′（s）=

(1)/(2)(ln2−lns)  0＜s＜2

0                    其他

．