数学数论题,证明：任给15个互不相同的两位数中,总可以找到4个互不相同的数a,b,c,d,使得a+b=c+d.

Question

数学数论题,
证明：任给15个互不相同的两位数中,总可以找到4个互不相同的数a,b,c,d,使得a+b=c+d.

Answer 1

证明：设15个数为a（1）,a（2）,……a（15）,b（i）=a（i+1）-a（i）,i为1,2,3……14
满足a（1）＜a（2）＜……＜a（15）,则b（i）＞0,b（i）属于整数
要使不能找到4个数满足题内条件则b（i）中最多只能有两项相同
由 b（i）=a（i+1）-a（i）得b（1）+b（2）+……+b（14）=a（15）-a（1）
由b（i）＞0,b（i）属于整数且b（i）中最多只能有两项相同得
a（15）-a（1）=b（1）+b（2）+……+b（14）≥1+1+2+3+……+13=92＞90
又∵a（1）最小为10,a（15）最大为99,∴a（15）-a（1）≤89,
这与a（15）-a（1）＞90矛盾
由抽屉原理得：
任给15个互不相同的两位数中,总可以找到4个互不相同的数a,b,c,d,使得a+b=c+d